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분산-공분산 행렬은 여러 변수와 관련된 분산과 공분산을 포함하는 정방형 행렬입니다. 행렬의 대각선 원소는 각 변수의 분산을 포함하며, 대각선 이외의 원소는 가능한 모든 변수 쌍 간의 공분산을 포함합니다. 예를 들어, 세 변수 X, Y, Z의 분산-공분산 행렬을 생성할 수 있습니다.
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통계, 기댓값, 분산, 공분산, 상관계수, 공분산 행렬
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Covariance Matrix 공분산 행렬 – [정보통신기술용어해설]
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포트폴리오의 분산, 공분산행렬 [ 내가 공부한 재무관리 #9 ]
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공분산과 공분산 행렬(covariance)
공분산이란 2개 변수가 함께 변하는 정도(joint variability)를 측정하는 척도입니다. … 또, 행렬의 대각항들은 단일 변수의 분산을 의미합니다.
Source: kh-mo.github.io
Date Published: 10/26/2021
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[문제] 분산공분산행렬이 양정치행렬인지 알아보자
문제 분산공분산행렬(variance-covariance matrix)이 양정치행렬(positive definite)인지 알아보자 풀이 (p.23) 예제 1 – 15.
Source: data-analysis.tistory.com
Date Published: 3/27/2022
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공분산 – 나무위키:대문
공분산은 두 개의 확률 변수의 선형관계를 나타내는 값이다. … 분산-공분산 행렬이란 다음과 같이 분산과 공분산을 나타낸 행렬을 말한다.
Source: namu.wiki
Date Published: 9/27/2021
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재무관리 위험 측정도구 분산-공분산 행렬 정리
재무관리의 포트폴리오 이론에서 설명하는 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix)은 위와 같이 생겼습니다. 두 자산이 겹치는 가운데의 대각선 …
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- Author: 슬기로운통계생활
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- Date Published: 2021. 11. 29.
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분산-공분산 행렬의 정의
분산-공분산 행렬은 여러 변수와 관련된 분산과 공분산을 포함하는 정방형 행렬입니다. 행렬의 대각선 원소는 각 변수의 분산을 포함하며, 대각선 이외의 원소는 가능한 모든 변수 쌍 간의 공분산을 포함합니다.
X Y Z X 2.0 -0.86 -0.15 Y -0.86 3.4 0.48 Z -0.15 0.48 0.82 예를 들어, 세 변수 X, Y, Z의 분산-공분산 행렬을 생성할 수 있습니다. 다음 표에서 분산은 대각선을 따라 굵게 표시됩니다. X, Y, Z의 분산은 각각 2.0, 3.4, 0.82입니다. X와 Y의 공분산은 -0.86입니다.
X와 Y 사이의 공분산은 Y와 X 사이의 공분산과 같기 때문에 분산-공분산 행렬은 대칭입니다. 따라서 각 변수 쌍의 공분산은 행렬에서 두 번씩 나타납니다. i번째 변수와 j번째 변수 사이의 공분산은 (i, j)와 (j, i) 위치에 표시됩니다.
Covariance matrix (공분산 행렬)
Covariance
공분산이란 둘 이상의 변량(Variance)이 연관성을 가지며 분포하는 모양을 전체적으로 나타낸 분산이다
만약 영어 성적 하나에 대한 정보는
점수 : 90 82 97 92
일때
평균 : 92, 표준편차:
가 된다
만약 영어 하나가 아닌 수학까지 포함해서 두 변수의 연관성이 궁금하다면?
즉, 영어를 잘한다면 수학도 잘할까? 에 대한 의문이 든다면?
영어 : 90 82 97 92
수학: 80 86 80 82
이 두 변수에 대한 변동을 공분산 (Cov (x, y))라 하고
만약
Cov(x, y) > 0 이면 x가 증가할 때 y 도 증가,
Cov(x, y) < 0 이면 x가 증가할 때 y 는 감소 한다. (independent이면 Cov(x, y) == 0이지만, Cov(x, y) == 0 이라고 항상 independent하지는 않다) Correlation 이때 공분산 값이 항상 일정하지 않으므로, 이를 표준화 하기 위해 공분산에 표준편차로 나눠주면 값이 [-1, 1] 사이에 놓이게 되고 이 값을 상관 계수 ( )라 한다. Covariance matrix 의 분산( )은 x들이 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는지를 나타내고, 와 의 공분산( )은 의 흩어진 정도가 얼마나 서로 상관관계를 가지고 흩어졌는지를 나타내는데, 이때 와 는 동일하기 때문에 Covariance Matrix는 대각선 성분을 중심으로 대칭이 되게 된다. Covariance Matrix는 두 가지 개념으로 바라볼 수 있는데 첫번째는 구조적인 의미로 각 feature들의 퍼져있음이 얼마나 유사하냐 (feature의 변동이 얼마나 닮았냐) 이다.즉, 각 feature간의 내적을 통해 feature의 변동이 얼마나 닮았는지를 알 수 있다. (키 vs 몸무게, 몸무게 vs 성적, ….) 두번째는 수학적 (기하학적) 의미로 데이터를 어떻게 linear transform하고 있는가이다. 행렬은 linear tranform을 통해 다른 벡터 공간으로 mapping해주는 기능을 가지는데, 이 covariance matrix는 (각자의 데이터가 서로 관련이 없는) 초기 상태에서 서로의 연관성에 대한 정보가 담겨져 있는 covariance matrix를 통해 각 데이터를 분산시켜 준다고 볼 수 있다. 이 분산시키는 형태는 마치 특정 방향으로 잡아 늘리는 (shearing) 모습을 하고 있다. (첫번째 구조적인 의미는 이미 퍼져있는 상태에서의 관계를 봤고 여기서는 데이터가 어떻게 “퍼져 나가는지”를 바라봤음) 이제 covariance matrix 를 계산해 보자. 위 행렬 X에서 는 feature (e.g. 키, 몸무게, …)이고 (d) 행은 sample이라고 하고 (n), 이 때 중요한 점은 각 x값은 해당 feature의 평균값을 뺀, “mean centered data”이다. 다음과 같이 행렬 X의 내적을 이용하여 계산하게 되면 아래와 같이 x의 분산과 공분산 값을 계산할 수 있다. e.g. 의 각 행에 대한 평균을 구하면 이고 이 평균을 이용해서 mean-centered data를 구하면 이 된다. 이제 으로 covariance matrix 를 구한다. (이 covariance matrix 는 square matrix가 된다!) 이때 matrix 의 각 vector가 커질 수록 내적의 값이 점점 커지므로, 필요에 따라 (e.g. PCA) vector의 size인 “n”으로 covariance matrix를 나눠준다. 참고
공분산과 공분산 행렬(covariance) · kh-mo’s blog
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재무관리 위험 측정도구 분산-공분산 행렬 정리
재무관리의 포트폴리오이론에서 자산의 위험을 측정할 때에는 분산을 이용합니다. 분산이 크면 기댓값의 변동폭이 커지므로 위험이 높아지며, 분산이 작아지면 작아질수록 기댓값의 변동폭이 작아지기 때문에 위험이 줄어들게 됩니다. 이러한 위험을 측정할 때에는 특히 여러 종류의 자산이 포함된 포트폴리오의 위험을 측정하기 위해서는 각 자산에 대한 위험을 구해야 하는데, 이때 유용하게 사용할 수 있는 것이 바로 분산-공분산 행렬입니다.
자산 위험 측정의 기초
포트폴리오이론에 있어서 위험의 측정은 분산 또는 표준편차의 값을 이용합니다. 예를 들어, 회사A의 주식이 있는데 이 주식이 불황과 호황에 따라 또는 기타 변수에 따라 가격의 변동폭이 크면 분산이 클 것이고 변동폭이 작다면 분산이 작을 것입니다.
포트폴리오의 분산(위험)은 구성된 각 자산의 비율과 다른 자산의 비율 그리고 공분산의 곱으로 나타냅니다. 이것을 수학식으로 나타내면 다음과 같습니다.
위의 수식으로 하나의 예시를 만들면 다음과 같습니다. 만약 두 개의 자산, 자산A와 자산B로 구성된 포트폴리오가 있다고 가정했을 때 이 포트폴리오의 분산(위험)은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
n개의 자산으로 구성되는 포트폴리오의 위험 측정
n개의 자산으로 구성되는 포트폴리오의 분산(위험)을 측정할 때에는 분산-공분산 행렬이라는 것을 이용합니다. 이것은 위에서 소개한 수학식을 그대로 사용하지만 보다 눈으로 보기 쉽게 이 식을 행렬(표)로 나타낸 것입니다.
재무관리의 포트폴리오 이론에서 설명하는 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix)은 위와 같이 생겼습니다. 두 자산이 겹치는 가운데의 대각선 부분은 항상 해당 자산의 포트폴리오 비율과 분산의 곱으로 이루어 집니다. 위 행렬을 다시 정리하면 아래와 같습니다.
기여도를 이용한 포트폴리오 위험 측정
분산-공분산 행렬은 각 행별로 분해하여 볼 수도 있습니다. 첫 번째 행의 합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
또한 위 식은 다음과 같이 정리될 수 있습니다.
각 자산에 대한 비율과 자산 1과 해당 자산의 공분산의 곱의 합은 포트폴리오와 자산 1의 공분산과 같으므로 위와 같은 식을 도출해낼 수 있는 것입니다. 위 식은 포트폴리오 전체 위험에서 자산 1이 기여하는 부분을 나타냅니다. 같은 방식에 의하여 두 번째 행의 합은 로 쓸 수 있으며 이는 포트폴리오 전체 위험에서 자산 2의 기여도를 나타냅니다. 따라서 포트폴리오 위험은 개별자산이 기여하는 부분의 합으로 다음과 같이 표시될 수 있습니다.
타이틀 이미지: Ken Teegardin, Numbers And Finance, Flickr. CC BY-SA 2.0.
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