역 쌍곡선 함수 | 미적분과 급수 (3)-1 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수 상위 247개 답변

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역쌍곡선함수(Inverse Hyperbolic Function) – 네이버 블로그

미적분(Old, 오류 많음). 역쌍곡선함수(Inverse Hyperbolic Function). 프로필. 네냐플. 2010. 9. 18. 2:32. 이웃추가. 본문 기타 기능. 본문 폰트 크기 조정

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Source: m.blog.naver.com

Date Published: 1/9/2021

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쌍곡선 함수 – 나무위키:대문

쌍곡선 함수4.8.2. 역쌍곡선 함수4.8.3. 특수 적분. 5. 복소수와 쌍곡선 함수. 5.1. 복소평면에서의 쌍곡선 함수의 그래프. 6. 테일러 급수7. 기타8.

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Source: namu.wiki

Date Published: 9/7/2022

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역쌍곡선 함수 Inverse Hyperbolic function (대학미적분1 수준)

수학 이야기/ㅁ ○ 미적분학. NOTE 필기 – 역쌍곡선 함수 Inverse Hyperbolic function (대학미적분1 수준). Anointing 2016. 12. 2. 12:04. 저작자표시 동일조건 …

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Source: hekbms.tistory.com

Date Published: 6/3/2022

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쌍곡선 함수 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

1 종류 · 2 삼각함수와의 관계 · 3 역함수 · 4 역쌍곡함수의 미분 · 5 역쌍곡함수의 부정적분 · 6 복소수와 쌍곡선 함수 · 7 테일러 급수 · 8 같이 보기 …

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Source: ko.wikipedia.org

Date Published: 7/29/2021

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쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 미분 – SASA Math

이 포스트에서는 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 정의하고 이 함수들의 도함수를 살펴본다. 쌍곡선함수의 정의. R 에서 정의된 함수는 기함수와 우함수 …

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Source: sasamath.com

Date Published: 7/16/2021

View: 5550

쌍곡선 함수 & 역쌍곡선 함수

쌍곡선 함수 & 역쌍곡선 함수 ; 정의 ; 정의역. 모든 실수 ; 치역. 모든 실수. 0<=y ; 성질. 기함수. arcsinh(-x)=-arcsinh x ; 그래프 ...

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Source: creatoryoon.tistory.com

Date Published: 8/27/2022

View: 9164

역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function

쌍곡함수의 역함수 ¶. $y=\sinh^{-1}x$, ⇔, $x= …

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Source: red-ruby.com

Date Published: 8/20/2022

View: 652

쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 – Support – CASIO

쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수. 예 1: sinh 3.6 = 18.28545536. (sinh) 3 6; 18.28545536. 예 2: sinh-1 30 = 4.094622224. (sinh-1) 30; 4.094622224.

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Source: support.casio.com

Date Published: 7/12/2022

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주제에 대한 기사 평가 역 쌍곡선 함수

• Author: 편입수학은한아름
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• Date Published: 2020. 3. 19.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전

수학에서 쌍곡선 함수(双曲線函數, 영어: hyperbolic function)는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선을 매개변수로 표시할 때 나온다.

종류 [ 편집 ]

sinh , cosh , tanh

csch , sech , coth

삼각함수(원함수)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

쌍곡사인( hyperbolic sine )

sinh ⁡ x = e x − e − x 2 = − i sin ⁡ i x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!}

쌍곡코사인( hyperbolic cosine )

cosh ⁡ x = e x + e − x 2 = cos ⁡ i x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!}

쌍곡탄젠트( hyperbolic tangent )

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}} = e x − e − x 2 e x + e − x 2 = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = − i tan ⁡ i x {\displaystyle ={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!}

쌍곡코시컨트( hyperbolic cosecant )

csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x = 2 e x − e − x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!}

쌍곡시컨트( hyperbolic secant )

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e − x = sec ⁡ i x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!}

쌍곡코탄젠트( hyperbolic cotangent )

coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}} = e x + e − x 2 e x − e − x 2 = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 = i cot ⁡ i x {\displaystyle ={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!}

삼각함수와의 관계 [ 편집 ]

2차원 평면상에서 매개변수 t {\displaystyle t} 를 사용한 자취 ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) {\displaystyle (\cos t,\,\sin t)} 가 단위원 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 을 그리는 것처럼, ( cosh ⁡ t , sinh ⁡ t ) {\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)} 은 쌍곡선 x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 을 그린다. 이는 다음과 같은 간단한 관계를 통해 쉽게 알 수 있다.

cosh 2 ⁡ t − sinh 2 ⁡ t = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,}

그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기함수가 아니라는 차이가 있다.

매개변수 t {\displaystyle t} 가 단위원을 그리는 삼각함수의 경우에 각을 뜻하는 양인 것과는 달리 쌍곡선 함수의 경우에는 평면상의 면적에 대응하는 쌍곡각(雙曲角, hyperbolic angle)에 대응한다. 쌍곡각은 x {\displaystyle x} 축과 쌍곡선, 그리고 ( cosh ⁡ t , sinh ⁡ t ) {\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)} 위의 점과 원점을 지나는 직선이 이루어지는 면적을 두배한 양으로 정의된다.

cosh x {\displaystyle \cosh \,x} 는 짝함수 즉 y {\displaystyle y} 축에 대해 대칭이며, cosh ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cosh 0\,=\,1} 이다.

sinh y {\displaystyle \sinh \,y} 는 홀함수 즉 원점에 대해 대칭이며, sinh ⁡ 0 = 0 {\displaystyle \sinh 0\,=\,0} 이다.

쌍곡선 함수는 삼각함수 공식과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 오스본 법칙에 따라 어떤 삼각함수 항등식이라도 쌍곡선 항등식으로 변환될 수 있다. 예를 들어 삼각함수의 덧셈정리와 반각공식은 다음과 같은 쌍곡선 함수의 덧셈 정리와 반각 공식으로 바뀐다.

덧셈 정리 sinh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,} cosh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x cosh ⁡ y + sinh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,} tanh ⁡ ( x + y ) = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y {\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}

반각 공식 cosh 2 ⁡ x 2 = cosh ⁡ x + 1 2 {\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}} sinh 2 ⁡ x 2 = cosh ⁡ x − 1 2 {\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}

역함수 [ 편집 ]

쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다.

arcsinh ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) arccosh ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 arctanh ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) ; | x | < 1 arccsch ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) ; x ≠ 0 arcsech ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 x + 1 − x 2 x ) ; 0 < x ≤ 1 arccoth ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 x − 1 ) ; | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arccosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {arctanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arccsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x eq 0\\\operatorname {arcsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);01\\\end{aligned}}}

역쌍곡함수의 미분 [ 편집 ]

d d x arcsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} d d x arccosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x arctanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} d d x arccsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} d d x arcsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} d d x arccoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

역쌍곡함수의 부정적분 [ 편집 ]

∫ d u a 2 + u 2 = a − 1 arcsinh ⁡ ( u a ) + C ∫ d u u 2 − a 2 = a − 1 arccosh ⁡ ( u a ) + C ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 arctanh ⁡ ( u a ) + C ; u 2 < a 2 ∫ d u u a 2 + u 2 = − a − 1 arccsch ⁡ | u a | + C ∫ d u u a 2 − u 2 = − a − 1 arcsech ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arcsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arccosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\operatorname {arctanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}

쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 미분 – SASA Math

이 포스트에서는 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 정의하고 이 함수들의 도함수를 살펴본다.

쌍곡선함수의 정의

\(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수는 기함수와 우함수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 함수 \(f\)는 \[f(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2}\] 로서 기함수와 우함수의 합으로 표현된다. 이와 같은 방법으로 자연지수함수를 기함수와 우함수의 합으로 표현하면 \[e^x = \frac{e^x – e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 이다. 이때 \(e^x\)의 기함수 부분을 쌍곡선사인, 우함수 부분을 쌍곡선코사인이라고 부른다. 즉 쌍곡선사인(hyperbolic sine)이란 \[\sinh x = \frac{e^x – e^{-x}}{2}\] 으로 정의된 함수 \(\sinh\)를 이르며, 쌍곡선코사인(hyperbolic cosine)이란 \[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 으로 정의된 함수 \(\cosh\)를 이른다. 사인과 코사인을 이용하여 다른 네 개의 삼각함수를 모두 표현할 수 있는 것처럼 쌍곡선사인과 쌍곡선코사인을 이용하여 다른 네 개의 쌍곡선함수를 모두 표현할 수 있다. 즉 다음과 같이 정의한다. \[

ewcommand{sech}[]{\operatorname{sech}}

ewcommand{csch}[]{\operatorname{csch}} \begin{align} \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}} ,\\[6pt] \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x – e^{-x}} ,\\[6pt] \sech x &= \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} ,\\[6pt] \csch x &= \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x – e^{-x}} . \end{align} \] 위 네 개의 함수를 순서대로 쌍곡선탄젠트, 쌍곡선코탄젠트, 쌍곡선시컨트, 쌍곡선코시컨트라고 부른다. 그리고 지금까지 소개한 여섯 개의 함수를 통틀어 쌍곡선함수(hyperbolic function)라고 부른다.

쌍곡선함수에 삼각함수의 이름이 붙은 이유는 사인과 코사인이 기함수와 우함수의 대표적인 함수이기도 하거니와, 쌍곡선함수가 삼각함수와 비슷한 성질을 가지고 있기 때문이다.

쌍곡선함수와 관련된 항등식 \[\begin{align} \cosh^2 x &- \sinh^2 x = 1 ,\\[8pt] \sinh 2x &= 2 \sinh x \cosh x ,\\[8pt] \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x ,\\[6pt] \cosh^2 x &= \frac{\cosh 2x +1}{2} ,\\[4pt] \sinh^2 x &= \frac{\cosh 2x -1}{2} ,\\[6pt] \tanh^2 x &= 1- \sech^2 x ,\\[8pt] \coth^2 x &= 1+ \csch^2 x . \end{align}\] \[\begin{align} \cosh^2 x &- \sinh^2 x = 1 ,\\[8pt] \sinh 2x &= 2 \sinh x \cosh x ,\\[8pt] \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x ,\\[6pt] \cosh^2 x &= \frac{\cosh 2x +1}{2} ,\\[4pt] \sinh^2 x &= \frac{\cosh 2x -1}{2} ,\\[6pt] \tanh^2 x &= 1- \sech^2 x ,\\[8pt] \coth^2 x &= 1+ \csch^2 x . \end{align}\]

여기서 첫 번째 등식을 유심히 살펴볼 필요가 있다. 좌표평면에서 \((\cosh t ,\, \sinh t )\)로 표현되는 점의 좌표는 \(x^2 – y^2 = 1\)을 만족시키므로, 이 점은 쌍곡선 위에 놓이게 된다. 쌍곡선함수의 이름에 ‘쌍곡선’이라는 접두사가 붙는 것은 바로 이 때문이다.

쌍곡선함수의 미분

쌍곡선함수는 자연지수함수를 이용하여 정의되기 때문에, 쌍곡선함수의 도함수를 구하는 것은 쉽다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sinh x &= \frac{d}{dx} \frac{e^x – e^{-x}}{2} \\[4pt]&= \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x,\\[10pt] \frac{d}{dx} \cosh x &= \frac{d}{dx} \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\[4pt]&= \frac{e^x – e^{-x}}{2} = \sinh x,\\[10pt] \frac{d}{dx} \tanh x &= \frac{d}{dx} \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh^2 x – \sinh^2}{(\cosh x)^2} \\[4pt]&= \frac{1}{(\cosh x)^2} = \sech^2 x ,\\[10pt] \frac{d}{dx} \coth x &= \frac{d}{dx} \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\sinh^2 x – \cosh^2}{(\sinh x)^2} \\[4pt]&= \frac{-1}{(\sinh x)^2} = -\csch^2 x \,\,\, (x

e 0),\\[10pt] \frac{d}{dx} \sech x &= \frac{d}{dx} \frac{1}{\cosh x} = \frac{-\sinh x}{(\cosh x)^2} \\[4pt]&= – \sech x \tanh x ,\\[10pt] \frac{d}{dx} \csch x &= \frac{d}{dx} \frac{1}{\sinh x} = \frac{-\cosh x}{(\sinh x)^2} \\[4pt]&= – \csch x \coth x \,\,\, (x

e 0). \end{align}\] 이것을 정리하면 다음과 같다.

정리 1. (쌍곡선함수의 도함수) \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sinh x &= \cosh x,\\[6pt] \frac{d}{dx} \cosh x &= \sinh x,\\[6pt] \frac{d}{dx} \tanh x &= \sech^2 x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \coth x &= -\csch^2 x &(&x

e 0),\\[6pt] \frac{d}{dx} \sech x &= – \sech x \tanh x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \csch x &= – \csch x \coth x &(&x

e 0). \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sinh x &= \cosh x,\\[6pt] \frac{d}{dx} \cosh x &= \sinh x,\\[6pt] \frac{d}{dx} \tanh x &= \sech^2 x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \coth x &= -\csch^2 x &(&x

e 0),\\[6pt] \frac{d}{dx} \sech x &= – \sech x \tanh x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \csch x &= – \csch x \coth x &(&x

e 0). \end{align}\]

역쌍곡선함수의 미분

쌍곡선사인, 쌍곡선탄젠트, 쌍곡선코탄젠트, 쌍곡선코시컨트는 일대일 함수이므로 그 역함수를 정의할 수 있다. 그러나 쌍곡선코사인과 쌍곡선시컨트는 일대일 함수가 아니므로 그 역함수를 정의할 수 없다. 하지만 삼각함수의 정의역을 축소하여 일대일 함수가 되도록 하고 그 역함수를 정의한 것처럼 쌍곡선코사인과 쌍곡선시컨트의 정의역을 축소하고 그 역함수를 정의할 수 있다. 이러한 관점에서 역쌍곡선함수를 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} y = \sinh^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \sinh y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} ,\\[8pt] y = \cosh^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \cosh y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in [0,\,\infty ) ,\\[8pt] y = \tanh^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \tanh y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} ,\\[8pt] y = \coth^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \coth y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\},\\[8pt] y = \sech^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \sech y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in [0,\,\infty ) ,\\[8pt] y = \csch^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \csch y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}. \end{align}\] 정의에 의하여 역쌍곡선함수는 다음과 같은 정의역을 가진다. \[\begin{align} y = \sinh^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in\mathbb{R} ,\\[8pt] y = \cosh^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in [1,\,\infty ) ,\\[8pt] y = \tanh^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in (-1,\,1) ,\\[8pt] y = \coth^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in\mathbb{R} \setminus [-1,\,1],\\[8pt] y = \sech^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in (0,\,1] ,\\[8pt] y = \csch^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}. \end{align}\] 쌍곡선함수의 정의에 의하여 \(0 < x \le 1\)일 때 \[\sech \left( \cosh^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) \right) = \frac{1}{\cosh \left( \cosh^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) \right)} = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)} = x\] 이다. 그런데 \(\sech (\sech^{-1} x ) =x\)이므로 \[\cosh^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) = \sech^{-1} x\] 를 얻는다. 비슷한 방법으로 다음 등식을 얻는다. 역쌍곡선함수와 관련된 항등식 \[\begin{align} \sech^{-1} x &= \cosh^{-1} \frac{1}{x}, \\[6pt] \csch^{-1} x &= \sinh^{-1} \frac{1}{x}, \\[6pt] \coth^{-1} x &= \tanh^{-1} \frac{1}{x} . \end{align}\] \[\begin{align} \sech^{-1} x &= \cosh^{-1} \frac{1}{x}, \\[6pt] \csch^{-1} x &= \sinh^{-1} \frac{1}{x}, \\[6pt] \coth^{-1} x &= \tanh^{-1} \frac{1}{x} . \end{align}\] 이제 역쌍곡선함수의 도함수를 구해 보자. \[\begin{align} \frac{d}{dx} (\sinh^{-1} x ) &=\frac{1}{\cosh (\sinh^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2 (\sinh^{-1} x)}} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\\[8pt] \frac{d}{dx} (\cosh^{-1} x ) &=\frac{1}{\sinh (\cosh^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{\cosh^2 (\cosh^{-1} x)}-1} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} \quad (x > 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\tanh^{-1} x) &=\frac{1}{\sech^2 (\tanh^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2 (\tanh^{-1} x)}} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\coth^{-1} x ) &=\frac{1}{-\csch^2 (\coth^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{1-\coth^2 (\coth^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{1-x^2} \quad (\lvert x \rvert > 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\sech^{-1} x) &=\frac{d}{dx} \left( \cosh^{-1} \frac{1}{x} \right) \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right) \\[4pt] &= – \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} \quad (0 < x < 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\csch^{-1} x) &=\frac{d}{dx} \sinh^{-1} \frac{1}{x} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right) \\[4pt] &= - \frac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{1+x^2}} \quad (x e 0). \end{align}\] 이것을 정리하면 다음과 같다.

역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function

증명Letthen양변에를 곱하면이렇게에 대한 이차방정식이 나오고, 근의 공식을 쓰면그런데 지수함수인이므로

i.e.

라 하면이고

증명 1양변에를 곱해도 같으므로이러면 근의 공식을 적용할 수 있다.근데이므로이다. 따라서증명 2:에 대해임을 보여라.Sol.역함수의 정의로부터이고 양변에를 곱하면을 얻는다.로 놓으면에 대한 이차식을 얻고이므로 근의 공식에서임을 알 수 있다. 로그를 취하면을 얻는다.

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